Formă simplectică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În geometria diferențială, peste un spațiu fibrat vectorial real E\rightarrow P\,, forma simplectică \omega\, este dată de o familie de forme biliniare nedegenerate \omega_x\, peste spațiul fibrat E_x\,, punctul  x \in P \, apaținând lui  C^{\infty}. Mai riguros, o formă simplectică este o secțiune globală x\mapsto \omega_x\, de E^*\wedge E^*\rightarrow P\,, care este în toate punctele nedegenerată.

Cu toate acestea, peste o mulțime diferențiabilă M\,, o formă simplectică \omega\, este o o formă diferențiabilă de ordinul 2 nedegenerată și închisă. Mai explicit, impunem condițiile următoare:

  • Forma \omega\, este nedegenerată dacă în toate punctele x\,, forma biliniară antisimetrică \omega_x\, este nedegenerată.
  • Forma \omega\, este închisă, în sensul lui :  d\omega\,.

În particular, (TM,\omega)\, este un spațiu fibrat simplectic, dar definiția unei forme simplectice nu se limitează doar la acestă simplă proprietate. Condiția de închidere implică unicitatea ei locală furnizată de teorema lui Darboux.


Exemple[modificare | modificare sursă]

  • Dacă F\rightarrow P\, este un spațiu fibrat vectorial, atunci există o formă simplectică pe spațiul fibrat vectorial E=F\oplus F^*\, dat de:
\omega\left[f_1\oplus f_1^*,f_2\oplus f_2^*\right]=f_1^*(f_2)-f_2^*(f_1)

Acest prim exemplu arată naturalețea formelor simplectice. Contrar metricii riemanniene, existența lor nu este bine înțeleasă, dar cel puțin au venit în mod natural.

  • Dacă (M,\omega)\, este o mulțime simplectică de dimensiune 2n\,, iar P\, este o submulțime diferențiabilă din  M\,, atunci:
    • Spațiul fibrat tangent la M\, este limitat la un spațiu fibrat de rang 2n\, peste P\,, notat T_PM\rightarrow P\,, iar (T_PM,\omega)\, este un spațiu fibrat simplectic.
    • Dacă în toate punctele x ale lui P, forma biliniară \omega_x\, este nedegenerată cu restricția la spațiul tangent T_xP\,, atunci, \iota^*\omega\, este o formă simplectică asupra lui P.


Existența[modificare | modificare sursă]

Existența formelor simplectice pe o mulțime diferențiabilă este încă o problemă deschisă.