Ecuațiile lui Euler (dinamica fluidelor)

În dinamica fluidelor, ecuațiile lui Euler constituie un sistem de ecuații ce descriu mișcarea fluidelor fără viscozitate și reprezintă o consecință a conservării masei, momentului și energiei în cadrul ecuațiilor Navier-Stokes.

Particulă de fluid sub acţiunea forţelor de suprafaţă

Pentru obținerea acestor ecuații, se va considera o particulă de fluid paralelipipedică de masă dm. Aceasta se află în echilibru dinamic sub acțiunea forței de inerție și a forțelor exterioare:

$dm\cdot {\vec {a}}=d{\vec {F}}_{m}+d{\vec {F}}_{s},$

unde

$d{\vec {F}}_{m}={\vec {f}}_{m}\cdot dm$

este forța masică, ${\vec {f}}_{m}(X,Y,Z)$ fiind forța masică unitară.

Componentele masice sunt:

${\begin{cases}dF_{m_{x}}=X\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\\dF_{m_{y}}=Y\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\\dF_{m_{z}}=Z\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\end{cases}}$

Forțele de suprafață se pot calcula pe fiecare suprafață a particulei prin produsul dintre valoarea presiunii (considerată constantă pe fiecare față a particulei) și mărimea suprafeței pe care acționează. Componentele după direcțiile Ox, Oy, Oz ale rezultantei forțelor de presiune $dF_{p}$ sunt:

${\begin{cases}dF_{p_{x}}=p\cdot dy\cdot dz-\left(p+{\frac {\partial p}{\partial x}}\cdot dx\cdot dy\cdot dz\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x}}\cdot dx\cdot dy\cdot dz\\dF_{p_{y}}=-{\frac {\partial p}{\partial y}}\cdot dy\cdot dy\cdot dz\\dF_{p_{z}}=-{\frac {\partial p}{\partial z}}\cdot dy\cdot dy\cdot dz\end{cases}}$

Ecuația de mișcare după direcția Ox este:

${\frac {du}{dt}}=\rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz=X\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz-{\frac {\partial p}{\partial x}}\cdot dx\cdot dy\cdot dz.$

Analog se obțin ecuațiile după direcțiile Oy și Oz. Se împart aceste ecuații la masa particulei $dm=\rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\neq 0$ și ținând cont de derivatele substanțiale ale vitezelor, obținem ecuațiile lui Euler pentru dinamica fluidelor reale: