Ecuația de continuitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În absența unei surse de masă, pentru un volum material \tau, masa conținută nu variază în timp, ceea ce înseamnă că

\frac{d}{dt}\int_{\tau}^{} \rho \, d\tau =0

Dacă se consideră un volum de control oarecare fix \tau*, fluxul de masă care traversează suprafața \sigma*, ce înconjoară volumul \tau*, trebuie să se regăsească în variația masei volumului de control

\int_{\tau*}^{} \frac{\partial \rho}{\partial t} \, d\tau =\int_{\sigma*}^{} {\rho}{\overrightarrow{V}\overrightarrow{n}} \, d\sigma

sau ținând seama de relația Gauss-Ostrogradski

\int_{\tau*}^{} \frac{\partial \rho}{\partial t} \, d\tau -\int_{\tau*}^{} {\nabla(\rho}{\overrightarrow{V})} \, d\tau =0

Deoarece nu s-a făcut nici o ipoteză asupra mărimii volumului \tau*, se poate face ca acesta să tindă spre zero, adică

\frac{\partial \rho}{\partial t}+{\nabla(\rho}{\overrightarrow{V})} =0

care este ecuația de continuitate valabilă în oricare punct al spațiului fluid.


Tetra-curenți[modificare | modificare sursă]

Conservarea unui curent al unui fluid generalizat, care nu este neapărat un fluid de tip curent electromagnetic, este exprimată compact de operatorul divergență al covariantei Lorentz a unui tetra-curent

J^a = \left(c \rho, \mathbf{j} \right)

unde

c este viteza luminii
ρ este densitatea de sarcină
j este densitatea de curent convențională
a denumește dimensiunea spaţio-temporală


astfel încât

\partial_a J^a = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j}

atunci

\partial_a J^a = 0

ceea ce conduce la concluzia conservării curentului

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Referințe[modificare | modificare sursă]