Despre Spirale

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Despre Spirale este un tratat al lui Arhimede din 225 î.Hr. Această lucrare conține 28 de propoziții, iar problemele legate de spirale se găsesc de la propoziția 12 la 28 și se ocupă cu ceea ce numim acum Spirala lui Arhimede. Deși Arhimede nu a descoperit spirala, el a scris acest tratat pentru a rezolva cuadratura cercului și trisecția unghiului.[1]


Conținut[modificare | modificare sursă]

Prefață[modificare | modificare sursă]

Arhimede începe lucrarea Despre Spirale cu un mesaj către Dositheus din Pelusium, menționând moartea lui Conon din Samos ca o pierdere pentru matematică. Apoi continuă cu rezumatul rezultatelor din lucrările Despre Sferă și Cilindru și Despre Concoide și Sferoide. Lucrarea se termină cu rezultatele lui Arhimede despre spirale.

Spirala lui Arhimede[modificare | modificare sursă]

Spirala lui Arhimede cu trei rotaţii de 360°

Spirala lui Arhimede a fost studiată pentru prima dată de Conon, iar apoi de Arhimede în lucrarea Despre Spirale, dar Arhimede a fost capabil să găsească diverse tangente la spirală.[2] El a definit spirala astfel:

Dacă o dreaptă cu una din extremități rămânând fixă este făcută să se rotească cu o viteză unghiulară uniformă într-un plan până se reîntoarce în poziția inițială, și dacă, în același timp cu rotația dreptei un punct se mișcă cu viteză uniformă de-a lungul dreptei, începând de la extremitatea fixă, punctul va descrie o spirală în plan.[3]


Trisecția unui unghi[modificare | modificare sursă]

Exemplu de modul în care Arhimede a trisectat unghiul în lucrarea Despre Spirale.

Modul în care a trisectat unghiul Arhimede este următorul:

Să presupunem că unghiul ABC trebuie trisectat. Trisectăm segmentul BC și găsim că BD este egal cu o treime din BC. Desenăm un cerc cu centrul în B și de rază BD. Presupunem că cercul cu centrul în B intersectează spirala în E. Unghiul ABE este egal cu o treime din unghiul ABC.[4]

Cuadratura cercului[modificare | modificare sursă]

Cercul şi triunghiul au arii egale.

Pentru cuadratura cercului Arhimede a dat următoarea construcție:

Fie P punctul de pe spirală după ce aceasta a efectuat o rotație completă. Tangenta din P la spirală taie dreapta perpendiculară pe OP în T. OT este lungimea circumferinței cercului de rază OP.

Arhimede demonstrase deja în prima propoziție din lucrarea Măsurarea cerculuiaria unui cerc este egală cu aria unui triunghi dreptunghic care are lungimea unei laturi adiacente unghiului drept egală cu raza cercului, iar cealaltă latură egală cu circumferința cercului. Deci, aria cercului de rază PO este egală cu aria triunghiului OPT.[5]


Referințe[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Spiral”. Encyclopædia Britannica. 2008. http://original.britannica.com/eb/article-9069158/spiral#823770.hook. Accesat la 29 iulie 2008. 
  2. ^ Eric W. Weisstein, Archimedes' Spiral la MathWorld.
  3. ^ Heath, Thomas Little (1921), A History of Greek Mathematics, Boston: Adamant Media Corporation, p. 64, ISBN 0543968774, http://books.google.com/?id=zGIYbEtzD-QC&printsec=frontcover, accesat la 20 august 2008 
  4. ^ Tokuda, Naoyuki; Chen, Liang (18 martie 1999), Trisection Angles, Utsunomiya University, Utsunomiya, Japan, pp. 5–6, http://azalea.sunflare.co.jp/rd_dir/papers/trisection-ENG.pdf, accesat la 20 august 2008 
  5. ^ History topic: Squaring the circle. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PrintHT/Squaring_the_circle.html. Accesat la 20 august 2008. 


Legături externe[modificare | modificare sursă]