Criteriile de comparație

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, criteriile de comparație sunt criterii care stabilesc natura unei serii ai cărei termeni sunt numere reale sau complexe. Acesea determină natura seriei comparând termenii ei cu cei ai unei alte serii, căreia îi este cunoscută natura.

Primul criteriu al comparației[modificare | modificare sursă]

Primul criteriu de comparație spune că dacă seria

\sum_{n=1}^\infty b_n

este o serie absolut convergentă și există un număr real C independent de n astfel încât

|a_n|\le C|b_n|

pentru un n oricât de mare, atunci seria

\sum_{n=1}^\infty a_n

este absolut convergentă. În acest caz se spune ca b "domina" pe a. Dacă seria ∑|bn | este divergentă și

|a_n|\ge |b_n|

pentru un n oricât de mare, atunci seria ∑an  nu converge absolut.

Al doilea criteriu al comparației[modificare | modificare sursă]

Al doilea criteriu de comparație spune că dacă seria

\sum_{n=1}^\infty b_n

este o serie absolut convergentă și există un număr real C independent de n astel încât

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le C\,\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|

pentru un n oricât de mare, atunci seria

\sum_{n=1}^\infty a_n

converge absolut. Dacă seria ∑|bn | este divergentă și

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|

pentru un n oricât de mare, atunci seria ∑an  nu converge absolut.

Acest lucru rezultă din : Criteriul raportului (D'Alembert)

Al treilea criteriu al comparației[modificare | modificare sursă]

Al treilea criteriu al comparației spune că dacă seriile

\sum_{n=1}^\infty a_n și \sum_{n=1}^\infty b_n

sunt serii cu toți termenii pozitivi și

l = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}

Atunci:

  • Dacă 0 < k < ∞ atunci cele două serii sunt de aceeași natură.
  • Dacă k= 0 și seria ∑bn  este convergentă atunci seria ∑an  este convergentă.
  • Dacă k = +∞ și seria ∑bn  este divergentă atunci seria ∑an  este divergentă.