Coordonate triliniare

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Coordonate triliniare.jpg

În geometrie, coordonatele triliniare ale unui punct P în raport cu un triunghi ABC sunt proporționale cu lungimea perpendicularelor de la punct la laturile triunghiului. Coordonatele triliniare sunt notate prin α : β : γ sau (α, β, γ), fiind un exemplu de coordonate omogene. Coordonatele triliniare au fost introduse de Julius Plücker în 1835.

Dacă punctul P se află de exemplu pe latura BC a triunghiului, atunci perpendiculara din P va fi nulă, deci α = 0. Similar pentru puncte aflate pe AC β = 0, iar pentru cele de pe AB γ = 0.

Datorită simplității, coordonatele triliniare ale vârfurilor A, B și C ale triunghiului sunt sunt scrise în mod uzual sub forma 1:0:0, 0:1:0 și respectiv 0:0:1.

Coordonatele triliniare pot fi normalizate astfel încât vor da actuala distanță de la P la fiecare latură. Pentru a realiza normalizarea, fie punctul P având coordonatele triliniare α : β : γ aflate la distanțele a', b' și c' de laturile BC, AC și AB. Atunci distanțele a'= kα, b'= kβ și c'= kγ pot fi găsite scriind ariile triunghiurilor BPC, APC și respectiv APB, adică:


\begin{align}
\triangle &  = \triangle_a + \triangle_a + \triangle_a \\
&  = \frac{1}{2} \left ( aa^\prime + bb^\prime + cc^\prime \right ) \\
&  = \frac{1}{2} \left ( ak\alpha + bk\beta + ck\gamma \right ) \\
&  = \frac{1}{2}k \left (a\alpha + b\beta + c\gamma \right ) \\
\end{align}

Rezultă:

 k \equiv \frac{2 \triangle}{\left (a\alpha + b\beta + c\gamma \right )}

Coordonatele a', b' și c' se mai numesc și coordonatele exacte sau actuale ale punctului P. Pentru a face distincția între coordonatele triliniare și cele actuale, este de preferat să notăm coordonatele triliniare prin α : β : γ, iar cele acuale ale punctului P prin (, , ), notație uzuală de altfel pentru un triplet ordonat de numere.


Exemple[modificare | modificare sursă]

Centru Coordonatele triliniare
A 1 : 0 : 0
B 0 : 1 : 0
C 0 : 0 : 1
Centrul cercului înscris I 1 : 1 : 1
Centrul cercului circumscris O cos A : cos B : cos C
Ortocentrul H sec A : sec B : sec C
Centrul de greutate G bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 1/c = csc A : csc B : csc C
Centrul cercului lui Euler cos(BC) : cos(CA) : cos(AB)
Punctul simedian K a : b : c = sin A : sin B : sin C
Centrul cercului exînscris față de A −1 : 1 : 1
Centrul cercului exînscris față de B 1 : −1 : 1
Centrul cercului exînscris față de C 1 : 1 : −1

De notat că, în general, centrul cercului înscris nu este același cu centrul de greutate, iar centrul de greutate are coordonatele baricentrice 1 : 1 : 1, acestea fiind proporționale cu ariile triunghiurilor BGC, CGA, AGB, G fiind centrul de greutate.

Formule[modificare | modificare sursă]

Coordonatele triliniare permit folosirea multor metode algebrice în geometria triunghiului. De exemplu, trei puncte

P = p : q : r
U = u : v : w
X = x : y : z

sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul lor este egal cu zero, adică

 D = \begin{vmatrix}p&q&r\\
u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix} = 0

Dualitatea acestei propoziții este aceea că liniile

pα + qβ + rγ = 0
uα + vβ + wγ = 0,
xα + yβ + zγ = 0

sunt concurente într-un punct dacă și numai dacă D = 0.

De asemenea, dacă sunt folosite distanțele în evaluarea determinantului D, atunci aria unui triunghi PUX = kD, în care k = abc/8σ2 (σ aria triunghiului ABC), dacă triunghiul PUX are aceeași orientare cu triunghiul ABC, sau k = -abc/8σ2 dacă are orientare inversă.

Multe curbe de gradul trei sunt ușor de reprezentat prin coordonate liniare. De exemplu, funcția cubică de rotație auto-izogonal conjugată Z(U,P), ca fiind locul geometric al unui punct X, astfel încât, punctul izogonal conjugat P al lui X să se afle pe dreapta UX, este dat de determinantul

 \begin{vmatrix}x&y&z\\
qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix} = 0.

Printre cubicele numite Z(U,P) se află și:

cubica Thomson : Z(X(2),X(1)), în care X(2) = centrul de greutate, X(1) = centrul cercului înscris
cubica Feuerbach: Z(X(5),X(1)), în care X(5) = punctul lui Feuerbach
cubica Darboux : Z(X(20),X(1)), în care X(20) = punctul lui De Longchamps
cubica Neuberg : Z(X(30),X(1)), în care X(30) = punctul lui Euler de la infinit.

Conversii[modificare | modificare sursă]

Un punct cu coordonatele triliniare α : β : γ are coordonatele baricentrice  :  : , în care a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului. Invers, un punct cu coordonatele baricentrice α : β : γ are coordonatele triliniare α/a : β/b : γ/c.

Există și formula de conversie între coordonatele triliniare și coordonatele carteziene bidimensionale. Fiind dat un triunghi de referință ABC, exprimăm poziția vârfului B în funcție de o pereche ordonată carteziană, reprezentat algebric de un vector a cu originea în vârful C. Similar avem vârful A reprezentat de b. Atunci orice punct P asociat cu triunghiul de referință ABC poate fi definit într-un sistem cartezian ca un vector P = αa + βb. Dacă punctul P are coordonatele triliniare x : y : z, atunci formulele de conversie sunt:

x:y:z =  \frac{\beta}{a} : \frac{\alpha}{b} : \frac{1 - \alpha - \beta}{c}

invers

\alpha = \frac{by}{ax + by + cz} \mbox{ and } \beta = \frac{ax}{ax + by + cz}.

Dacă se alege o origine arbitrară în care coordonatele carteziene ale vârfurilor se cunosc și sunt reprezentate prin vectorii A, B and C, și dacă un punct P are coordonatele triliniare x : y : z, atunci coordonatele carteziene ale lui P sunt date de media ponderată a coordonatelor carteziene a vârfurilor, folosind coordonatele baricentrice ax, by and cz ca pondere.

Prin urmare

\underline{P}=\frac{ax}{ax+by+cz}\underline{A}+\frac{by}{ax+by+cz}\underline{B}+\frac{cz}{ax+by+cz}\underline{C},

în care |CB| = a,  |AC| = b and |BA| = c.


Vezi și[modificare | modificare sursă]

Referințe[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]