Cercul lui Apollonius

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În geometrie, cercul lui Apollonius reprezintă locul geometric al punctelor ale căror distanțe la două puncte fixe este constant. Numele provine de la matematicianul grec Apoloniu din Perga.

Punctul P parcurge cercul lui Apollonius: PA/PB=k

Formularea[modificare | modificare sursă]

Se consideră segmentul [AB] și un număr real pozitiv \kappa \ne 1

Atunci mulțimea punctelor:

\complement_A = \{P | \overline{AP} : \overline{PB} = \kappa\}

este cercul lui Apollonius.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Considerând punctul variabil P, avem următoarele cazuri:

  • P se află pe dreapta AB. Exceptând cazul în care k=1, când P nu poate fi decât mijlocul segmentului AB, ecuația PA=k·PB are ca soluție două puncte C și D, conjugate armonic în raport cu A și B.
  • P se află în exteriorul dreptei AB. Avem PA/PB=CA/CB. Deci PC este bisectoarea unghiului P în triunghiul APB, iar MD este bisectoarea exterioară. Așadar, CPD este unghi drept, deci P parcurge cercul de diametru [CD].

Acest cerc este chiar cercul lui Apollonius asociat punctelor A, B și numărului k.