Cercul celor nouă puncte

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Cercul celor nouă puncte

În geometrie, cercul celor nouă puncte pentru un anumit triunghi este cercul care unește următoarele puncte importante ale triunghiului:

  • mijloacele laturilor acestuia;
  • picioarele înălțimilor;
  • mijloacele segmentelor formate din ortocentrul triunghiului și vârfurile acestuia.

Acest cerc se mai numește și cercul lui Feuerbach, cercul lui Euler, al lui Terquem

Descoperire[modificare | modificare sursă]

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Nine-point circle.svg

Raza cercului celor nouă puncte este de două ori mai mică decât raza cercului circumscris triunghiului

Dacă J, K, L sunt respectiv mijloacele SA, SB, SC atunci \triangle JKL este transformarea \triangle ABC printr-o omotetie de pol S și raport \dfrac {1} {2}. Ca atare, cum cercul celor nouă puncte este cercul circumscris al \triangle JKL, între raza lui, R' și raza cercului circumscris \triangle ABC există același raport. Deci 2R'=R

Cercul celor nouă puncte intersectează orice dreaptă care trece prin ortogcentru în mijloacele celor două segmente formate de ortocentru și respectiv punctele de intersecție ale dreptei cu cercul circumscris

9pcircle 04.png
Aceasta este o consecință a relației de omotetie dintre cele două cercuri. Pentru orice punct F de pe Cercul celor nouă puncte, corespondentul lui pe cercul circumscris triunghiului ABC, C(O,R) este punctul {T_1}=(SF \cap C(O,R)

Legături externe[modificare | modificare sursă]