Calcul variațional

Calculul variațional este un capitol al analizei matematice care are ca obiect studiul problemelor de determinare a extremelor unei funcționale.

Printre problemele care au generat apariția calculului variațional se numără problema izoperimetrelor și problema brahistocronei (Jean Bernoulli, 1696).

Denumirea și fundamentarea calculului variațional i se datorează lui Euler (1744). Lagrange (1760) a introdus noțiunea de variație și a dat o metodă de determinare a extremelor unei funcționale.

Calculul variațional are aplicații în mecanica sistemelor, hidrodinamică, teoria elasticității, optică geometrică.

Istoric

Din punct de vedere istoric, prima problema de calcul variațional este așa numita problemă a lui Dido. Conform legendei, Didona, al cărui soț fusese asasinat, este nevoită să fugă cu averea acestuia. Debarcând pe țărmul african, localnicii îi oferă suprafața pe care poate să o cuprindă cu o piele de taur. Didona taie pielea în fâșii înguste pe care le leagă cap la cap și înconjoară cu ele o bucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, căreia îi devine regină.

Încă din antichitate, latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firul alcătuit din fâșiile înguste pentru ca el să înconjoare o porțiune de arie maximă?

Formulare matematică

Problema are mai multe variante. Una din acestea ar fi următoarea: să presupunem că axa x'Ox reprezintă țărmul mării și că punctele $A(a,0),B(b,0)\!$ reprezintă capetele firului, graficul funcției $y=f(x),\!$ definită și derivabilă pe [a, b], este firul. Aria limitată de fir și țărm este:

$S=\int _{a}^{b}y(x)dx,\!$

în timp de lungimea firului este:

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}dx.\!$

Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcției $y=y(x),\!$ definite și derivabile pe [a, b], care satisface condițiile:

$y(a)=0,\;y(b)=0,\;L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}dx\!$

astfel încât integrala:

$S=\int _{a}^{b}y(x)dx\!$

să aibă valoarea maximă.

Din motive evidente, o asemenea problemă se numește problemă izoperimetrică. Încă din antichitate se cunoștea că formă căutată a firului este cea a unui arc de cerc, ceea ce se poate demonstra.

Se poate raționa și altfel. Fie ${\overset {\frown }{AB}}\!$ arcul graficului. În relația:

$S=\int _{\overset {\frown }{AB}}y(x)dx\!$

se consideră pe x, y ca funcții de absisa curbilinie s și integrăm prin părți:

$S=yx|_{A}^{B}-\int _{\overset {\frown }{AB}}xdy=-\int _{0}^{L}x(s){\sqrt {1-x'(s)^{2}}}ds.\!$

Problema revine la a determina funcția $x=x(s)\!$ definită pe intervalul $[0,L]\!$ cu proprietatea că $x(0)=a,\;x(L)=b\!$ și că integrala:

$S=\int _{0}^{L}x(s){\sqrt {1-x'(s)^{2}}}ds\!$

are valoare minimă.

O altă variantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cu ecuațiile parametrice:

${\begin{cases}x=x(t)&\\&t\in [t_{1},t_{2}],\\y=y(t)&\end{cases}}\!$

funcțiile $x(t),y(t)\!$ fiind deci derivabile pe porțiuni pe $[t_{1},t_{2}].\!$ Atunci lungimea firului este:

$L=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}dt,\!$

iar aria limitată de fir este:

$S={\frac {1}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[y(t)x'(t)-x(t)y'(t)\right]dt.\!$

Problema revine deci la determinarea celor două funcții $x(t),y(t)\!$ definite și derivabile pe porțiuni pe intervalul $[t_{1},t_{2}]\!$ astfel încât să aibă relația:

$L=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}dt\!$

și ca integrala:

$S={\frac {1}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[y(t)x'(t)-x(t)y'(t)\right]dt.\!$

să fie maximă. Și aceasta este tot o problemă izoperimetrică și curba care dă soluția este un cerc.