Calcul variațional

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Calculul variațional este un capitol al analizei matematice care are ca obiect studiul problemelor de determinare a extremelor unei funcționale.

Printre problemele care au generat apariția calculului variațional se numără problema izoperimetrelor și problema brahistocronei (Jean Bernoulli, 1696).

Denumirea și fundamentarea calculului variațional i se datorează lui Euler (1744). Lagrange (1760) a introdus noțiunea de variație și a dat o metodă de determinare a extremelor unei funcționale.

Calculul variațional are aplicații în mecanica sistemelor, hidrodinamică, teoria elasticității, optică geometrică.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Din punct de vedere istoric, prima problema de calcul variațional este așa numita problemă a lui Dido. Conform legendei, Didona, al cărui soț fusese asasinat, este nevoită să fugă cu averea acestuia. Debarcând pe țărmul african, localnicii îi oferă suprafața pe care poate să o cuprindă cu o piele de taur. Didona taie pielea în fâșii înguste pe care le leagă cap la cap și înconjoară cu ele o bucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, căreia îi devine regină.

Încă din antichitate, latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firul alcătuit din fâșiile înguste pentru ca el să înconjoare o porțiune de arie maximă?

Formulare matematică[modificare | modificare sursă]

Problema are mai multe variante. Una din acestea ar fi următoarea: să presupunem că axa x'Ox reprezintă țărmul mării și că punctele A(a, 0), B(b, 0) \! reprezintă capetele firului, graficul funcției y=f(x), \! definită și derivabilă pe [a, b], este firul. Aria limitată de fir și țărm este:

S = \int_a^b y(x) dx, \!

în timp de lungimea firului este:

L= \int_a^b \sqrt {1+y' (x)^2}dx. \!

Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcției y=y(x), \! definite și derivabile pe [a, b], care satisface condițiile:


y(a) =0, \; y(b) =0, \; L= \int_a^b \sqrt {1 +y'(x)^2}dx \!

astfel încât integrala:

S= \int_a^b y(x) dx \!

să aibă valoarea maximă.

Din motive evidente, o asemenea problemă se numește problemă izoperimetrică. Încă din antichitate se cunoștea că formă căutată a firului este cea a unui arc de cerc, ceea ce se poate demonstra.

Se poate raționa și altfel. Fie \overset {\frown}{AB} \! arcul graficului. În relația:

S= \int_{\overset {\frown}{AB}} y(x) dx \!

se consideră pe x, y ca funcții de absisa curbilinie s și integrăm prin părți:

S = yx |_A^B - \int_{\overset {\frown}{AB}} xdy = - \int_0^L x(s) \sqrt {1-x'(s)^2} ds. \!

Problema revine la a determina funcția x=x(s) \! definită pe intervalul [0, L] \! cu proprietatea că x(0) =a, \; x(L) = b \! și că integrala:

S = \int_0^L x(s) \sqrt {1-x'(s)^2} ds \!

are valoare minimă.

O altă variantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cu ecuațiile parametrice:

\begin{cases} x=x(t) & \\ & t \in [t_1, t_2], \\ y=y(t) &  \end{cases} \!

funcțiile x(t), y(t) \! fiind deci derivabile pe porțiuni pe [t_1, t_2]. \! Atunci lungimea firului este:

L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2} dt, \!

iar aria limitată de fir este:

S= \frac 1 2 \int_{t_1}^{t_2} \left [ y(t) x'(t) - x(t) y'(t)  \right ] dt. \!

Problema revine deci la determinarea celor două funcții x(t), y(t) \! definite și derivabile pe porțiuni pe intervalul [t_1, t_2] \! astfel încât să aibă relația:

L= \int_{t_1}^{t_2} \sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2} dt \!

și ca integrala:

S= \frac 1 2 \int_{t_1}^{t_2} \left [ y(t) x'(t) - x(t) y'(t)  \right ] dt. \!

să fie maximă. Și aceasta este tot o problemă izoperimetrică și curba care dă soluția este un cerc.