Spaţiu metric

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, prin spaţiu metric se înţelege orice mulţime X pe care este definită o funcţie $d:X\times X\to [0,\infty)$ ce satisface proprietăţile:

$d (x, y) = 0$ dacă şi numai dacă $x = y$ (d este pozitiv definită)
$d(x,y)=d(y,x)\,,\ \forall x,y\in X$ (d este simetrică)
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,,\ \forall x,y,z\in X$ (inegalitatea triunghiului)

Orice funcţie d cu proprietăţile de mai sus se numeşte funcţie distanţă sau metrică.

[modifică] Exemple importante

mulţimile numerelor naturale, întregi, raţionale, reale, complexe, împreună cu funcţia distanţă definită ca $d (x, y) = | x - y |$
orice spaţiu vectorial normat, cu distanţa indusă de normă:
- în particular, spaţiul $\mathbb{R}^n$ cu distanţa euclidiană $d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\ldots+(x_n-y_n)^2}$ ,

unde $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ .

[modifică] Bile

Prin bila deschisă de centru $x\in X$ şi de rază $r\in(0,\infty)$ , notată $B (x, r)$ , se înţelege mulţimea punctelor a căror distanţă până la x este strict mai mică decât r: $B(x,r)=\{y\in X|d(x,y)<r\}$ . Bila închisă de centru x şi rază r, notată $\tilde{B}(x,r)$ sau, uneori, $\overline{B}(x,r)$ , este $\tilde{B}(x,r)=\{y\in X|d(x,y)\leq r\}$ .

De notat că, în raport cu topologia indusă de metrică (vezi secţiunea următoare), orice bilă deschisă este o mulţime deschisă şi orice bilă închisă este o mulţime închisă. În orice spaţiu metric are loc $\tilde{B}(x,r)\subseteq\overline B(x,r)$ , unde $\overline{M}$ desemnează închiderea topologică a mulţimii M. În spaţiile normate finit-dimensionale, de exemplu în $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}^n$ , $\mathbb{C}$ şi $\mathbb{C}^n$ , are loc egalitatea $\tilde{B}(x,r)=\overline B(x,r)$ .

[modifică] Topologia indusă de metrică

Orice metrică induce o topologie pe mulţimea de puncte. Astfel, orice spaţiu metric este şi spaţiu topologic. Topologia indusă de metrică este definită astfel (oricare din cele două variante sunt echivalente):

O submulţime $A\subseteq X$ a spaţiului este deschisă dacă pentru orice punct al ei există o bilă centrată în acel punct şi de rază nenulă inclusă în A ( $\forall x\in A, \exists r>0\,:\ B(x,r)\subseteq A$ )
O submulţime $V\subseteq X$ este vecinătate a punctului $x\in X$ dacă V include cel puţin o bilă de rază nenulă centrată în x: $\exists r>0\,:\ B(x,r)\subseteq V$

[modifică] Echivalenţa metricilor

Pe o aceeaşi mulţime se pot defini mai multe funcţii distanţă, rezultând structuri de spaţiu metric distincte pe aceeaşi mulţime de bază. Două funcţii distanţă, $d 1$ şi $d 2$ definite pe aceeaşi mulţime $X$ se numesc:

echivalente topologic dacă induc aceeaşi topologie pe $X$ , adică dacă orice vecinătate în raport cu $d 1$ este vecinătate şi în raport cu $d 2$
echivalente Lipschitz dacă există două constante reale pozitive $a,b\in(0,\infty)$ astfel încât $\forall x,y\in X\,,\ a\cdot d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq b\cdot d_1(x,y)$

Două metrici Lipschitz-echivalente sunt întotdeauna echivalente topologic; reciproca nu este însă adevărată totdeauna.

[modifică] Spaţii metrice complete

Un spaţiu metric se numeşte complet dacă orice şir Cauchy este convergent.

De exemplu, mulţimea numerelor raţionale nu este spaţiu metric complet deoarece şirul $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ este fundamental fără a fi convergent (acelaşi şir, în mulţimea numerelor reale este convergent şi are ca limită numărul e. În schimb, mulţimea numerelor reale este spaţiu metric complet.