Bază algebrică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Pentru alte sensuri ale termenului Bază vedeţi Bază (dezambiguizare).

Vectorii (1, 0) şi (0, 1) formează o bază în spaţiul vectorial R²

In algebră liniară, o bază a unui spaţiu vectorial, este un sistem de vectori cu care, printr-o combinaţie liniară, poate fi generat orice vector al spaţiului, şi care este minimală în raport cu numărul de vectori pe care îi conţine. Dacă baza nu ar fi minimală, atunci unul sau mai mulţi vectori ai ei, se poate scrie ca o combinaţie liniară a celorlalţi vectori, ceea ce înseamnă că ei pot fi excluşi din bază, rămânându-ne mai puţini vectori.

[modifică] Definiţie

Fiind dat spaţiul vectorial $(\mathbb{R}; K; +; \cdot)$ , V - mulţimea vectorilor, K - corpul peste care se află spaţiul vectorial, +,* - legi de compoziţie, se numeşte bază (algebrică) a lui V, un sistem de vectori liniar independenţi care sunt generatori ai spaţiului vectorial.

Vectorii bazei se numesc versori. Mai in detaliu, presupunând că B = { v₁, …, v_n } este o submulţime finită a spaţiului vectorial V peste un câmp F (precum mulţimea numerelor reale R sau cea a numerelor complexe C). Atunci B este bază dacă satisface următoarele condiţii:

proprietatea de liniar independenţă,

pentru orice a₁, …, a_n ∈ F, dacă a₁v₁ + … + a_nv_n = 0, atunci a₁ = … = a_n = 0; şi

proprietatea de sistem de generatori,

pentru orice x din V există a₁, …, a_n ∈ F astfel încât x = a₁v₁ + … + a_nv_n.

De notat că sumele de mai sus sunt finite, chiar dacă baza are un număr infinit de elemente. Admiterea sumelor infinite (serii) necesită înzestrarea spaţiului vectorial cu o structură de spaţiu topologic. Structuri similare cu bazele algebrice pentru spaţii prehilbertiene sunt de exemplu bazele ortonormate şi bazele Riesz.

[modifică] Notaţie

O bază a unui spaţiu vectorial constă defapt, într-un număr de vectori. Aceştia se scriu între acolade: { }. Exemplu: $\begin{Bmatrix}v_1, v_2, v_3, ...\end{Bmatrix}$ . Dacă vectorii $v_i\,$ sunt de forma $(e_{i1}, e_{i2}, e_{i3}, ..., e_{ij}, ...)\,$ , atunci baza se poate scrie şi astfel: $\begin{Bmatrix}(e_{11}, e_{12}, ..., e_{1j}, ...), (e_{21}, e_{22}, ..., e_{2j}, ...), ..., (e_{k1}, e_{k2}, ..., e_{kj}, ...)\end{Bmatrix}$ , unde k şi j sunt evident, indici.

[modifică] Proprietăţi

Orice spaţiu vectorial are o bază;
Un spaţiu vectorial poate avea mai multe baze, chiar şi o infinitate;
Două baze diferite din acelaşi spaţiu vectorial, conţin acelaşi număr de vectori. Numărul de vectori ai bazei este deci o caracteristică a spaţiului vectorial, numită dimensiunea spaţiului vectorial respectiv. Spaţiul format doar din elementul nul ( ${0 V}$ ) are o singură bază, mulţimea vidă, şi ca urmare are dimensiune 0.

[modifică] Exemple:

$(\mathbb{R}; +; \cdot)_{/\mathbb{R}}$ , notaţie similară cu $(\mathbb{R}; \mathbb{R}; +; \cdot)$ , formează un spaţiu vectorial. Cea mai importantă (şi mai cunoscută bază) a acestuia este $\begin{Bmatrix}(1)\end{Bmatrix}$ . Aceasta este baza canonică. Conţinând un singur vector (care este şi nenul), el este liniar independent, deoarece $\forall \alpha\in \mathbb{R}$ , a.î. $\alpha\cdot 1 = 0 \to \alpha = 0$ , este adevarată, fiind definiţia sistemului de vectori liniar independeţi, iar vectorul $(1)\,$ este generator deoarece $\forall v\in \mathbb{R}$ , el se poate scrie ca o combinaţie liniară de forma $\alpha\cdot(1) = v$ , iar $\alpha \in \mathbb{R}$ ;
$(\mathbb{R}^2; +; \cdot)_{/\mathbb{R}}$ , spaţiul vectorial real bidimensional. Orice vector este de forma $(x, y)\,$ . Printr-un calcul destul de simplu, se observă că în acest spaţiu vectorial, o bază are exact 2 vectori. Baza canonică este $\begin{Bmatrix}(1, 0), (0, 1)\end{Bmatrix}$ . O altă bază ar putea fi $\begin{Bmatrix}(3, 0), (0, -2)\end{Bmatrix}$ ;
$(\mathbb{R}^n; +; \cdot)_{/\mathbb{R}}, n \in \mathbb{N^*}$ , spaţiul vectorial real generalizat pentru orice dimensiune. Un vector v are n componente, $v = (e_1, e_2, e_3, ..., e_n)\,$ , iar orice bază are şi ea, n vectori. Baza canonică este: $\begin{Bmatrix}(1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 0, 1)\end{Bmatrix}$ ;
$(\mathbb{C}; +; \cdot)_{/\mathbb{C}}$ , spaţiul vectorial complex unidimensional, peste mulţimea numerelor complexe. Orice bază are o componentă nenulă, deoarece este nevoie de un singur număr complex pentru a genera un alt număr complex (care este defapt vectorul), printr-o combinaţie liniară;
$(\mathbb{C}; +; \cdot)_{/\mathbb{R}}$ , spaţiul vectorial complex unidimensional, peste mulţimea numerelor reale. Aici este nevoie de 2 numere reale pentru a genera un vector, deoarece orice număr complex este de forma $a+i\cdot b, a,b \in \mathbb{R}\,$ . Ca bază, putem avea $\begin{Bmatrix}(1, 0), (0, i)\end{Bmatrix}$ ;
$(\mathbb{R}[X]; +; \cdot)$ spaţiul vectorial al polinoamelor cu coeficienţi reali. Bază avem $\begin{Bmatrix}1, X, X^2, X^3, ...\end{Bmatrix}$ , acesta fiind un spaţiu infinit dimensional, baza va conţine o infinitate de vectori.