Axioma lui Arhimede

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Axioma lui Arhimede reprezintă o proprietate specifică anumitor grupuri și corpuri din teoria structurilor algebrice.

Alte denumiri:

  • Lema (proprietatea) lui Arhimede
  • Axioma continuității
  • Axioma (teorema) lui Eudoxus.

Istoric[modificare | modificare sursă]

Atribuit lui Arhimede (sec. III î.Hr.), axioma se regăsește în scrierile lui Eudoxus (secolul al IV-lea î.Hr. - Boyer & Merzbach, 1991), iar termenul este introdus de matematicianul austriac Otto Stolz în 1883.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Teoremă (principiul sau axioma lui Arhimede). Pentru orice numere reale x, y \in \mathbb R \! cu y>0 \! există n \in \mathbb N \! cu x \le ny. \!

Pentru a demonstra proprietatea lui Arhimede, se utilizează următoarea teoremă:

Teoremă. Pentru orice număr real x există un număr natural m astfel încât să avem:

x \le m \le x+1. \!

Demonstrație. Fie x \in \mathbb R \! fixat. Presupunem că x>n \! pentru orice n \in \mathbb N. \! În consecință, mulțimea \mathbb N \! este mărginită deci ar admite o margine superioară z \in \mathbb R. \! Din definiția marginii superioare, rezultă că există n_0 \in \mathbb N \! cu z-1 < n_0 < z, \! de unde avem că z = \sup \mathbb N < n_0 +1 \! absurd deoarece \mathbb N \! este inductivă (aceasta provine chiar din axiomele mulțimii \mathbb N \!) și ca atare n_0 +1 \in N. \! Așadar există un m \in \mathbb N \! cu x \le m. \!

Fie mulțimea:

A = \{ n \in \mathbb N | \; x<n \}. \!

Mulțimea A este mărginită inferior deci există y \in \mathbb R \! cu y = \inf A. \! Din definiția infimumului există pentru un \varepsilon < 1 \! un m_0 \in A \! cu y< m_0 < y + \varepsilon. \! Fie n \in A \! arbitrar. Evident nu putem avea n< y. \! Așadar avem fie y<n < m_0 < y+ \varepsilon \! fie m_0 < n. \! În prima situație ar rezulta că m_0- n < \varepsilon \! absurd. Așadar pentru orice n \in A \! avem m_0 <n \! ceea ce înseamnă că m_0 \inf A. \! întrucât m_0 \in A \! rezultă că x< m_0 \! iar dacă am avea x+1 < m_0 \! ar rezulta că x< m_0 -1 \! deci m_0 \! nu ar mai fi \inf A \! absurd. Așadar avem și relația m_0< x+1. \!

Acum pentru demonstrarea proprietății lui Arhimede, se vor considera cazurile:

  • x \le 0 \!, atunci se ia n=1. \!
  • x>0. \! Având în vedere că xy^{-1}>0, \! putem aplica teorema precedentă.

Deci există n \in \mathbb N \! cu xy^{-1}<n \! de unde rezultă axioma lui Arhimede.

Legături externe[modificare | modificare sursă]