Atomul lui Gabor

În matematica aplicată, Atomul lui Gabor sau Funcția lui Gabor este o funcție folosită în analiza propusă de Dennis Gabor în 1946, în care, o familie de funcții este construită dintr-o translație și o modulație a unei funcții generatoare.

Rezumat

În 1946, Dennis Gabor a sugerat ideea folosirii unui sistem granular pentru producerea sunetului. În lucrare, Gabor, a discutat despre problemele analizei Fourier care, deși corectă din punct de vedere matematic, nu o putem folosi la toate problemele fizice, precum sunetul unei sirene a cărei frecvență variază în timp. O altă problemă ar fi aceea a presupunerii fundamentale că folosim în analiză unde sinusoidale, deși semnalul care ne interesează are o durată infinită. Gabor a propus aplicarea ideilor din mecanica cuantică în analiza sunetului, permițând o analogie între sunet și cuantă. Sub anumite condiții matematice, el a propus o metodă de reducere a analizei Fourier în celule. Cercetările lui s-au canalizat spre transmiterea informației prin canalele de comunicație. Gabor a văzut în acești atomi o posibilitate de a transmite aceeași informație folosind mai puține date, adică, în loc să transmitem semnalul așa cum este el, avem posibilitatea să transmitem, folosind acești atomi, numai coeficienții care reprezintă semnalul.

Definirea matematică

Funcție lui Gabor este definită prin:

$g_{\ell ,n}(x)=g(x-a\ell )e^{2\pi ibnx},\quad -\infty <\ell ,n<\infty ,$

în care a și b sunt constante, iar g este o funcție fixată din L²(R), precum ||g|| = 1. Funcția lui Gabor creează o bază pentru L²(R), care este definită prin translație și modulație. Aceasta este similară cu o familie wavelet definită prin expansiune, care creează o bază prin determinarea scării de reprezentare a funcției de bază wavelet.

Vezi și

• Analiza Fourier
• Wavelet
• Model atomic

Referințe

• Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: "Gabor Analysis and Algorithms", Birkhäuser, 1998; ISBN 0817639594
• Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: "Advances in Gabor Analysis", Birkhäuser, 2003; ISBN 0817642390
• Karlheinz Gröchenig: "Foundations of Time-Frequency Analysis", Birkhäuser, 2001; ISBN 0817640223

Legături externe

• NuHAG homepage
• [1] Arhivat în 19 iulie 2010, la Wayback Machine.
• [2] Arhivat în 23 iunie 2010, la Wayback Machine.
• [3] Arhivat în 3 februarie 2014, la Wayback Machine.