Armonice solide

În fizică și matematică, armonicele solide sunt soluții ale ecuației lui Laplace în coordonate sferice. Există două feluri de armonice solide:

• armonice solide regulate $R^m_\ell(\mathbf{r})$, care tind către zero în origine
• armonice solide neregulate, care sunt singulare în origine.

Ambele seturi de funcții joacă un rol esențial în teoria potențialului, obținute prin rescalarea corespunzătoare a armonicelor sferice.

$R^m_\ell(\mathbf{r}) = r^\ell Y^m_\ell(\theta,\phi).$

Derivări, legătura cu armonicele sferice

Introducând r, θ și φ pentru coordonatele sferice ale unui vector tridimensional r, putem scrie ecuația lui Laplace sub forma următoare:

$\nabla^2\Phi(\mathbf{r}) = \left(\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2}r - \frac{L^2}{\hbar^2 r^2}\right)\Phi(\mathbf{r}) = 0 , \qquad \mathbf{r} \ne \mathbf{0},$

în care L² este pătratul operatorului momentului unghiular:

$\mathbf{L} = -i\hbar\, (\mathbf{r} \times \mathbf{\nabla}) .$

Se cunoaște că armonicele sferice Y^m_l sunt funcții proprii ale lui L²:

$L^2 Y^m_{\ell}\equiv \left[ L^2_x +L^2_y+L^2_z\right]Y^m_{\ell} = \ell(\ell+1) Y^m_{\ell}.$

Substituind Φ(r) = F(r) Y^m_l în ecuația lui Laplace, obținem următoarea ecuație radială și soluția ei generală:

$\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r F(r) = \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} F(r) \Longrightarrow F(r) = A r^\ell + B r^{-\ell-1}.$

Soluțiile particulare ale ecuației Laplace sunt armonice solide regulate:

$R^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}\; r^\ell Y^m_{\ell}(\theta,\varphi),$

și armonice solide neregulate:

$I^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \; \frac{ Y^m_{\ell}(\theta,\varphi)}{r^{\ell+1}} .$

Normalizarea lui Racah (cunoscută și ca seminormalizarea lui Schmidt) se aplică ambelor funcții:

$\int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi\; R^m_{\ell}(\mathbf{r})^*\; R^m_{\ell}(\mathbf{r}) = \frac{4\pi}{2\ell+1} r^{2\ell}$

(și analog pentru armonicele solide neregulate). Se preferă această normalizare Racah deoarece în multe aplicații factorul normalizării apare neschimbat în toate derivările.

Teoremele de sumare

Translația armonicelor solide regulate conduce la o dezvoltare finită:

$R^m_\ell(\mathbf{r}+\mathbf{a}) = \sum_{\lambda=0}^\ell\binom{2\ell}{2\lambda}^{1/2} \sum_{\mu=-\lambda}^\lambda R^\mu_{\lambda}(\mathbf{r}) R^{m-\mu}_{\ell-\lambda}(\mathbf{a})\; \langle \lambda, \mu; \ell-\lambda, m-\mu| \ell m \rangle,$

în care coeficientul Clebsch-Gordan este dat de:

$\langle \lambda, \mu; \ell-\lambda, m-\mu| \ell m \rangle = \binom{\ell+m}{\lambda+\mu}^{1/2} \binom{\ell-m}{\lambda-\mu}^{1/2} \binom{2\ell}{2\lambda}^{-1/2}.$

Dezvoltarea similară pentru armonicele solide neregulate conduce la o serie infinită:

$I^m_\ell(\mathbf{r}+\mathbf{a}) = \sum_{\lambda=0}^\infty\binom{2\ell+2\lambda+1}{2\lambda}^{1/2} \sum_{\mu=-\lambda}^\lambda R^\mu_{\lambda}(\mathbf{r}) I^{m-\mu}_{\ell+\lambda}(\mathbf{a})\; \langle \lambda, \mu; \ell+\lambda, m-\mu| \ell m \rangle$

cu $|r| \le |a|\,$. Cantitatea dintre paranteze este tot coeficientul Clebsch-Gordan:

$\langle \lambda, \mu; \ell+\lambda, m-\mu| \ell m \rangle = (-1)^{\lambda+\mu}\binom{\ell+\lambda-m+\mu}{\lambda+\mu}^{1/2} \binom{\ell+\lambda+m-\mu}{\lambda-\mu}^{1/2} \binom{2\ell+2\lambda+1}{2\lambda}^{-1/2}.$

Referințe

Teorema de sumare a fost demonstrată în multe feluri de diverși autori. Vezi cele două exemple diferite de demonstrare:

• R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977)
• M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)

Forma reală

Printr-o simplă combinație liniară de armonice solide de ±m aceste funcții sunt transformate în funcții reale. Armonicele solide regulate reale, exprimate în coordonate carteziene, sunt polinoame omogene de ordinul l în x, y și z. Forma explicită a acestor polinoame are o anumită importanță. De exemplu, ele apar sub forma orbitei atomice sferice și a momentelor multipolare reale. Expresii carteziene explicite vor fi date pentru armonicele regulate reale.

Combinații liniare

Scriem în acord cu definiția de mai sus:

$R_\ell^m(r,\theta,\varphi) = (-1)^{(m+|m|)/2}\; r^\ell \;\Theta_{\ell}^{|m|} (\cos\theta) e^{im\varphi}, \qquad -\ell \le m \le \ell,$

cu

$\Theta_{\ell}^m (\cos\theta) \equiv \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \,\sin^m\theta\, \frac{d^m P_\ell(\cos\theta)}{d\cos^m\theta}, \qquad m\ge 0,$

în care $P_\ell(\cos\theta)$ este un polinom Legendre de ordin l. Faza dependentă m este cunoscută drept faza Condon–Shortley

Următoarea expresie definește armonicele solide regulate reale:

$\begin{pmatrix} C_\ell^{m} \\ S_\ell^{m} \end{pmatrix} \equiv \sqrt{2} \; r^\ell \; \Theta^{m}_\ell \begin{pmatrix} \cos m\varphi\\ \sin m\varphi \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} (-1)^m & \quad 1 \\ -(-1)^m i & \quad i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R_\ell^{m} \\ R_\ell^{-m} \end{pmatrix}, \qquad m > 0.$

iar pentru m = 0:

$C_\ell^{0} \equiv R_\ell^{0} .$

Deoarece transformarea se face prin intermediul matricii unitate, normalizarea armonicelor solide reale sau complexe este aceeași.

Parte z-dependentă

Dacă scriem u = cos θ, derivata m a polinoamelor Legendre poate fi scrisă prin următoare dezvoltare în u:

$\frac{d^m P_\ell(u)}{du^m} = \sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} \gamma^{(m)}_{\ell k}\; u^{\ell-2k-m}$

cu

$\gamma^{(m)}_{\ell k} = (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}.$

Deoarece z = r cosθ urmează că, acestă derivată înmulțită cu o putere corespunzătoare a lui r, este un simplu polinom în z:

$\Pi^m_\ell(z)\equiv r^{\ell-m} \frac{d^m P_\ell(u)}{du^m} = \sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} \gamma^{(m)}_{\ell k}\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.$

Parte (x,y)-dependentă

Scriind x = r sinθcosφ și y = r sinθsinφ:

$r^m \sin^m\theta \cos m\varphi = \frac{1}{2} \left[ (r \sin\theta e^{i\varphi})^m + (r \sin\theta e^{-i\varphi})^m \right] = \frac{1}{2} \left[ (x+iy)^m + (x-iy)^m \right]$

De asemenea:

$r^m \sin^m\theta \sin m\varphi = \frac{1}{2i} \left[ (r \sin\theta e^{i\varphi})^m - (r \sin\theta e^{-i\varphi})^m \right] = \frac{1}{2i} \left[ (x+iy)^m - (x-iy)^m \right].$

Mai mult:

$A_m(x,y) \equiv \frac{1}{2} \left[ (x+iy)^m + (x-iy)^m \right]= \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos (m-p) \frac{\pi}{2}$

și

$B_m(x,y) \equiv \frac{1}{2i} \left[ (x+iy)^m - (x-iy)^m \right]= \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin (m-p) \frac{\pi}{2}.$

În total

$C^m_\ell(x,y,z) = \left[\frac{(2-\delta_{m0}) (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z)\;A_m(x,y),\qquad m=0,1, \ldots,\ell$

$S^m_\ell(x,y,z) = \left[\frac{2 (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z)\;B_m(x,y) ,\qquad m=1,2,\ldots,\ell.$

Lista celor mai scăzute funcții

Sunt listate cele mai scăzute funcții până la l = 5 inclusiv. Aici $\bar{\Pi}^m_\ell(z) \equiv \left[\tfrac{(2-\delta_{m0}) (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z) .$

---

$\begin{align} \bar{\Pi}^0_0 & = 1 & \bar{\Pi}^1_3 & = \frac{1}{4}\sqrt{6}(5z^2-r^2) & \bar{\Pi}^4_4 & = \frac{1}{8}\sqrt{35} \\ \bar{\Pi}^0_1 & = z & \bar{\Pi}^2_3 & = \frac{1}{2}\sqrt{15}\; z & \bar{\Pi}^0_5 & = \frac{1}{8}z(63z^4-70z^2r^2+15r^4) \\ \bar{\Pi}^1_1 & = 1 & \bar{\Pi}^3_3 & = \frac{1}{4}\sqrt{10} & \bar{\Pi}^1_5 & = \frac{1}{8}\sqrt{15} (21z^4-14z^2r^2+r^4) \\ \bar{\Pi}^0_2 & = \frac{1}{2}(3z^2-r^2) & \bar{\Pi}^0_4 & = \frac{1}{8}(35 z^4-30 r^2 z^2 +3r^4 ) & \bar{\Pi}^2_5 & = \frac{1}{4}\sqrt{105}(3z^2-r^2)z \\ \bar{\Pi}^1_2 & = \sqrt{3}z & \bar{\Pi}^1_4 & = \frac{\sqrt{10}}{4} z(7z^2-3r^2) & \bar{\Pi}^3_5 & = \frac{1}{16}\sqrt{70} (9z^2-r^2) \\ \bar{\Pi}^2_2 & = \frac{1}{2}\sqrt{3} & \bar{\Pi}^2_4 & = \frac{1}{4}\sqrt{5}(7z^2-r^2) & \bar{\Pi}^4_5 & = \frac{3}{8}\sqrt{35} z \\ \bar{\Pi}^0_3 & = \frac{1}{2} z(5z^2-3r^2) & \bar{\Pi}^3_4 & = \frac{1}{4}\sqrt{70}\;z & \bar{\Pi}^5_5 & = \frac{3}{16}\sqrt{14} \\ \end{align}$

---

Cele mai scăzute funcții $A_m(x,y)\,$ și $B_m(x,y)\,$ sunt:

m	Am	Bm
0	$1\,$	$0\,$
1	$x\,$	$y\,$
2	$x^2-y^2\,$	$2xy\,$
3	$x^3-3xy^2\,$	$3x^2y -y^3\,$
4	$x^4 - 6x^2 y^2 +y^4\,$	$4x^3y-4xy^3\,$
5	$x^5-10x^3y^2+ 5xy^4\,$	$5x^4y -10x^2y^3+y^5\,$

Exemple

De exemplu, partea unghiulară a celei de a noua sferică normalizată g a orbitei atomice este:

$C^2_4(x,y,z) = \sqrt{\frac{9}{4\pi}} \sqrt{\frac{5}{16}} (7z^2-r^2)(x^2-y^2).$

Una din cele 7 componente ale multipolului real de ordinul 3(octupol) ale unui sistem de N sarcini q_i este:

$S^1_3(x,y,z) = \frac{1}{4}\sqrt{6}\sum_{i=1}^N q_i (5z_i^2-r_i^2) y_i .$

Armonicele sferice sub forma carteziană

Următoarele formule exprimă armonicele sferice normalizate în coordonate carteziene (faza Condon-Shortley):

$r^\ell\, \begin{pmatrix} Y_\ell^{m} \\ Y_\ell^{-m} \end{pmatrix} = \left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z) \begin{pmatrix} (-1)^m (A_m + i B_m)/\sqrt{2} \\ \qquad (A_m - i B_m)/\sqrt{2} \\ \end{pmatrix} , \qquad m > 0.$

iar pentru m = 0:

$r^\ell\,Y_\ell^{0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \bar{\Pi}^0_\ell .$

Aici

$A_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos ((m-p) \frac{\pi}{2}),$

$B_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin ((m-p) \frac{\pi}{2}),$

iar pentru m > 0:

$\bar{\Pi}^m_\ell(z) = \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.$

Pentru m = 0:

$\bar{\Pi}^0_\ell(z) = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \ell/2\right \rfloor} (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k}.$

Exemple

Folosind expresiile de mai sus pentru $\bar{\Pi}^\ell_m(z)$, $A_m(x,y)\,$ și $B_m(x,y)\,$ obținem:

$Y^1_3 = - \frac{1}{r^3} \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16} \right]^{1/2} (5z^2-r^2)(x+iy) = - \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16}\right]^{1/2} (5\cos^2\theta-1) (\sin\theta e^{i\varphi})$

$Y^{-2}_4 = \frac{1}{r^4} \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2}(7z^2-r^2) (x-iy)^2 = \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2}(7 \cos^2\theta -1) (\sin^2\theta e^{-2 i \varphi})$

Se poate verifica că aceste corespund cu funcțiile listate în tabelul armonicelor sferice.