Armonice solide

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În fizică și matematică, armonicele solide sunt soluții ale ecuației lui Laplace în coordonate sferice. Există două feluri de armonice solide:

  • armonice solide regulate R^m_\ell(\mathbf{r}), care tind către zero în origine
  • armonice solide neregulate, care sunt singulare în origine.

Ambele seturi de funcții joacă un rol esențial în teoria potențialului, obținute prin rescalarea corespunzătoare a armonicelor sferice.

R^m_\ell(\mathbf{r}) = r^\ell Y^m_\ell(\theta,\phi).

Derivări, legătura cu armonicele sferice[modificare | modificare sursă]

Introducând r, θ și φ pentru coordonatele sferice ale unui vector tridimensional r, putem scrie ecuația lui Laplace sub forma următoare:

 \nabla^2\Phi(\mathbf{r}) =  \left(\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2}r - \frac{L^2}{\hbar^2 r^2}\right)\Phi(\mathbf{r}) = 0 , \qquad \mathbf{r} \ne \mathbf{0},

în care L2 este pătratul operatorului momentului unghiular:

 \mathbf{L} = -i\hbar\, (\mathbf{r} \times \mathbf{\nabla}) .

Se cunoaște că armonicele sferice Yml sunt funcții proprii ale lui L2:


L^2 Y^m_{\ell}\equiv \left[ L^2_x +L^2_y+L^2_z\right]Y^m_{\ell}  = \ell(\ell+1) Y^m_{\ell}.

Substituind Φ(r) = F(r) Yml în ecuația lui Laplace, obținem următoarea ecuație radială și soluția ei generală:


\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r F(r) = \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} F(r)
\Longrightarrow F(r) = A r^\ell + B r^{-\ell-1}.

Soluțiile particulare ale ecuației Laplace sunt armonice solide regulate:

 
R^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}\; r^\ell Y^m_{\ell}(\theta,\varphi),

și armonice solide neregulate:

 
I^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \; \frac{ Y^m_{\ell}(\theta,\varphi)}{r^{\ell+1}} .

Normalizarea lui Racah (cunoscută și ca seminormalizarea lui Schmidt) se aplică ambelor funcții:


\int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi\; R^m_{\ell}(\mathbf{r})^*\; R^m_{\ell}(\mathbf{r}) 
=  \frac{4\pi}{2\ell+1} r^{2\ell}

(și analog pentru armonicele solide neregulate). Se preferă această normalizare Racah deoarece în multe aplicații factorul normalizării apare neschimbat în toate derivările.

Teoremele de sumare[modificare | modificare sursă]

Translația armonicelor solide regulate conduce la o dezvoltare finită:

 R^m_\ell(\mathbf{r}+\mathbf{a}) = \sum_{\lambda=0}^\ell\binom{2\ell}{2\lambda}^{1/2} \sum_{\mu=-\lambda}^\lambda R^\mu_{\lambda}(\mathbf{r}) R^{m-\mu}_{\ell-\lambda}(\mathbf{a})\;
\langle \lambda, \mu; \ell-\lambda, m-\mu| \ell m \rangle,

în care coeficientul Clebsch-Gordan este dat de:


\langle \lambda, \mu; \ell-\lambda, m-\mu| \ell m \rangle
= \binom{\ell+m}{\lambda+\mu}^{1/2} \binom{\ell-m}{\lambda-\mu}^{1/2} \binom{2\ell}{2\lambda}^{-1/2}.

Dezvoltarea similară pentru armonicele solide neregulate conduce la o serie infinită:

 I^m_\ell(\mathbf{r}+\mathbf{a}) = \sum_{\lambda=0}^\infty\binom{2\ell+2\lambda+1}{2\lambda}^{1/2} \sum_{\mu=-\lambda}^\lambda R^\mu_{\lambda}(\mathbf{r}) I^{m-\mu}_{\ell+\lambda}(\mathbf{a})\;
\langle \lambda, \mu; \ell+\lambda, m-\mu| \ell m \rangle

cu  |r| \le |a|\,. Cantitatea dintre paranteze este tot coeficientul Clebsch-Gordan:


\langle \lambda, \mu; \ell+\lambda, m-\mu| \ell m \rangle
= (-1)^{\lambda+\mu}\binom{\ell+\lambda-m+\mu}{\lambda+\mu}^{1/2} \binom{\ell+\lambda+m-\mu}{\lambda-\mu}^{1/2}
\binom{2\ell+2\lambda+1}{2\lambda}^{-1/2}.

Referințe[modificare | modificare sursă]

Teorema de sumare a fost demonstrată în multe feluri de diverși autori. Vezi cele două exemple diferite de demonstrare:

  • R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977)
  • M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)

Forma reală[modificare | modificare sursă]

Printr-o simplă combinație liniară de armonice solide de ±m aceste funcții sunt transformate în funcții reale. Armonicele solide regulate reale, exprimate în coordonate carteziene, sunt polinoame omogene de ordinul l în x, y și z. Forma explicită a acestor polinoame are o anumită importanță. De exemplu, ele apar sub forma orbitei atomice sferice și a momentelor multipolare reale. Expresii carteziene explicite vor fi date pentru armonicele regulate reale.

Combinații liniare[modificare | modificare sursă]

Scriem în acord cu definiția de mai sus:


R_\ell^m(r,\theta,\varphi) = (-1)^{(m+|m|)/2}\; r^\ell \;\Theta_{\ell}^{|m|} (\cos\theta)
 e^{im\varphi}, \qquad -\ell \le m \le \ell,

cu


\Theta_{\ell}^m (\cos\theta) \equiv \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \,\sin^m\theta\, \frac{d^m P_\ell(\cos\theta)}{d\cos^m\theta}, \qquad m\ge 0,

în care  P_\ell(\cos\theta) este un polinom Legendre de ordin l. Faza dependentă m este cunoscută drept faza Condon–Shortley

Următoarea expresie definește armonicele solide regulate reale:


\begin{pmatrix}
C_\ell^{m} \\
S_\ell^{m}
\end{pmatrix}
\equiv \sqrt{2} \; r^\ell \; \Theta^{m}_\ell
\begin{pmatrix}
\cos m\varphi\\ \sin m\varphi
\end{pmatrix} 
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
(-1)^m  & \quad 1 \\
-(-1)^m i & \quad i 
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
R_\ell^{m} \\
R_\ell^{-m}
\end{pmatrix},
\qquad m > 0.

iar pentru m = 0:


C_\ell^{0} \equiv R_\ell^{0} .

Deoarece transformarea se face prin intermediul matricii unitate, normalizarea armonicelor solide reale sau complexe este aceeași.

Parte z-dependentă[modificare | modificare sursă]

Dacă scriem u = cos θ, derivata m a polinoamelor Legendre poate fi scrisă prin următoare dezvoltare în u:


\frac{d^m P_\ell(u)}{du^m} =
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} \gamma^{(m)}_{\ell k}\; u^{\ell-2k-m}

cu


\gamma^{(m)}_{\ell k} = (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}.

Deoarece z = r cosθ urmează că, acestă derivată înmulțită cu o putere corespunzătoare a lui r, este un simplu polinom în z:


\Pi^m_\ell(z)\equiv
r^{\ell-m} \frac{d^m P_\ell(u)}{du^m} =
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} \gamma^{(m)}_{\ell k}\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.

Parte (x,y)-dependentă[modificare | modificare sursă]

Scriind x = r sinθcosφ și y = r sinθsinφ:


r^m \sin^m\theta \cos m\varphi = \frac{1}{2} \left[  (r \sin\theta e^{i\varphi})^m 
+ (r \sin\theta e^{-i\varphi})^m \right] =
\frac{1}{2} \left[  (x+iy)^m + (x-iy)^m \right]

De asemenea:


r^m \sin^m\theta \sin m\varphi = \frac{1}{2i} \left[  (r \sin\theta e^{i\varphi})^m 
- (r \sin\theta e^{-i\varphi})^m \right] =
\frac{1}{2i} \left[  (x+iy)^m - (x-iy)^m \right].

Mai mult:


A_m(x,y) \equiv
\frac{1}{2} \left[  (x+iy)^m + (x-iy)^m \right]= \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos (m-p) \frac{\pi}{2}

și


B_m(x,y) \equiv
\frac{1}{2i} \left[  (x+iy)^m - (x-iy)^m \right]= \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin (m-p) \frac{\pi}{2}.

În total[modificare | modificare sursă]


C^m_\ell(x,y,z) = \left[\frac{(2-\delta_{m0}) (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z)\;A_m(x,y),\qquad m=0,1, \ldots,\ell

S^m_\ell(x,y,z) = \left[\frac{2 (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z)\;B_m(x,y)
,\qquad m=1,2,\ldots,\ell.

Lista celor mai scăzute funcții[modificare | modificare sursă]

Sunt listate cele mai scăzute funcții până la l = 5 inclusiv. Aici \bar{\Pi}^m_\ell(z) \equiv \left[\tfrac{(2-\delta_{m0}) (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z) .



 \begin{align}
 \bar{\Pi}^0_0 & = 1   &
      \bar{\Pi}^1_3 & = \frac{1}{4}\sqrt{6}(5z^2-r^2)  &
            \bar{\Pi}^4_4 & = \frac{1}{8}\sqrt{35}  \\
 \bar{\Pi}^0_1 & = z   &
      \bar{\Pi}^2_3 & = \frac{1}{2}\sqrt{15}\; z    &
            \bar{\Pi}^0_5 & = \frac{1}{8}z(63z^4-70z^2r^2+15r^4) \\
 \bar{\Pi}^1_1 & = 1   &
      \bar{\Pi}^3_3 & = \frac{1}{4}\sqrt{10}        &
            \bar{\Pi}^1_5 & = \frac{1}{8}\sqrt{15} (21z^4-14z^2r^2+r^4) \\
 \bar{\Pi}^0_2 & = \frac{1}{2}(3z^2-r^2) &
      \bar{\Pi}^0_4 & = \frac{1}{8}(35 z^4-30 r^2 z^2 +3r^4 ) &
            \bar{\Pi}^2_5 & = \frac{1}{4}\sqrt{105}(3z^2-r^2)z \\
 \bar{\Pi}^1_2 & = \sqrt{3}z &
      \bar{\Pi}^1_4 & = \frac{\sqrt{10}}{4} z(7z^2-3r^2) &
            \bar{\Pi}^3_5 & = \frac{1}{16}\sqrt{70} (9z^2-r^2) \\
 \bar{\Pi}^2_2 & = \frac{1}{2}\sqrt{3}  &
      \bar{\Pi}^2_4 & = \frac{1}{4}\sqrt{5}(7z^2-r^2)  &
            \bar{\Pi}^4_5 & = \frac{3}{8}\sqrt{35} z  \\
 \bar{\Pi}^0_3 & = \frac{1}{2} z(5z^2-3r^2) &
      \bar{\Pi}^3_4 & = \frac{1}{4}\sqrt{70}\;z  &
            \bar{\Pi}^5_5 & = \frac{3}{16}\sqrt{14} \\
 \end{align}

Cele mai scăzute funcții A_m(x,y)\, și  B_m(x,y)\, sunt:

m Am Bm
0 1\, 0\,
1 x\, y\,
2 x^2-y^2\, 2xy\,
3 x^3-3xy^2\,  3x^2y -y^3\,
4 x^4 - 6x^2 y^2 +y^4\, 4x^3y-4xy^3\,
5 x^5-10x^3y^2+ 5xy^4\, 5x^4y -10x^2y^3+y^5\,

Exemple[modificare | modificare sursă]

De exemplu, partea unghiulară a celei de a noua sferică normalizată g a orbitei atomice este:


C^2_4(x,y,z) = \sqrt{\frac{9}{4\pi}} \sqrt{\frac{5}{16}} (7z^2-r^2)(x^2-y^2).

Una din cele 7 componente ale multipolului real de ordinul 3(octupol) ale unui sistem de N sarcini qi este:


S^1_3(x,y,z) =  \frac{1}{4}\sqrt{6}\sum_{i=1}^N q_i  (5z_i^2-r_i^2) y_i .

Armonicele sferice sub forma carteziană[modificare | modificare sursă]

Următoarele formule exprimă armonicele sferice normalizate în coordonate carteziene (faza Condon-Shortley):


r^\ell\,
\begin{pmatrix}
 Y_\ell^{m} \\
 Y_\ell^{-m}
\end{pmatrix}
=
\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z)  
\begin{pmatrix}
(-1)^m (A_m +  i B_m)/\sqrt{2} \\
\qquad (A_m -  i B_m)/\sqrt{2} \\
\end{pmatrix} ,
\qquad m > 0.

iar pentru m = 0:


r^\ell\,Y_\ell^{0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}
\bar{\Pi}^0_\ell  .

Aici


A_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos ((m-p) \frac{\pi}{2}),

B_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin ((m-p) \frac{\pi}{2}),

iar pentru m > 0:


\bar{\Pi}^m_\ell(z)
= \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2}
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} 
 (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}
\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.

Pentru m = 0:


\bar{\Pi}^0_\ell(z)
= \sum_{k=0}^{\left \lfloor \ell/2\right \rfloor} 
 (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k}.
Exemple[modificare | modificare sursă]

Folosind expresiile de mai sus pentru \bar{\Pi}^\ell_m(z), A_m(x,y)\, și B_m(x,y)\, obținem:


 Y^1_3 = - \frac{1}{r^3} \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16} \right]^{1/2} (5z^2-r^2)(x+iy) =
-  \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot  \tfrac{3}{16}\right]^{1/2} (5\cos^2\theta-1) (\sin\theta e^{i\varphi})

Y^{-2}_4 =  \frac{1}{r^4} \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2}(7z^2-r^2) (x-iy)^2
=  \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2}(7 \cos^2\theta -1) (\sin^2\theta e^{-2 i \varphi})

Se poate verifica că aceste corespund cu funcțiile listate în tabelul armonicelor sferice.