Aberaţie cromatică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

[[wiki]]

Acest articol sau această secţiune trebuie pus(ă) în formatul standard. Ştergeţi eticheta la încheierea standardizării. Acest articol a fost etichetat în august 2007

Aberaţia cromatică este o aberaţie optică ce se manifestă prin formarea unui spectru de imagini colorate în locul unei singure imagini, datorită variaţiei indicelui de refracţie al materialului lentilei cu lungimea de undă a radiaţiilor care compun lumina albă.

Cuprins 1 Aberaţii în sisteme optice 2 Aberaţii monocromatice 3 Corectarea analitică a aberaţiilor 4 Eliminarea practică a aberaţiilor 5 Aberaţia cromatică

[modifică] Aberaţii în sisteme optice

Aberaţiile în sistemele optice (lentile, prisme, oglinzi sau toate înseriate) în general conduc la înceţoşarea imaginii şi apar când lumina dintr-un punct al obiectului, după trecerea prin sistem, nu converge (sau nu diverge) într-un singur punct. Producătorii de instrumente optice trebuie să corecteze sistemele pentru a compensa aberaţiile.

Aberaţiile se împart în două clase: aberaţii monocromatice, produse fără dispersie (acestea includ aberaţiile pe suprafeţe reflectatoare a oricărei lumini colorate şi pe suprafeţe refractive a luminii monocromatice) şi aberaţii cromatice (când un sistem dispersează diferitele unde de lumină).

[modifică] Aberaţii monocromatice

Teoria elementară a sistemelor optice ne conduc la teorema conform căreia razele de lumină care vin de la orice obiect se reunesc într-un punct imagine şi deci un spaţiu obiect este reprodus într-un spaţiu imagine. Introducerea de termeni auxiliari simpli (mulţumită lui C.F. Gauss în Dioptrische Untersuchungen, Göttingen, 1841), numiţi distanţa focală şi plan focal, permite determinarea imaginii oricărui obiect pentru orice sistem. Teoria gaussiană însă este valabilă doar pentru unghiuri extrem de mici faţă de axa optică principală. În practică însă aceste condiţii nu se realizează şi imaginea proiectată de sisteme necorectate sunt în general defectuoase şi uneori complet înceţoşate dacă deschiderea vizuală sau câmpul vizual depăşesc anumite limite.

-Aberaţia punctelor axiale (aberaţia sferică în sensul restrictiv) Dacă S (fig 1) este un sistem optic, razele venind de la un punct O de pe axă sub un unghi u1 se vor proiecta în punctul O'1. Cele care vin cu un unghi u2 se vor proiecta în punctul O'2. Dacă există refracţie, O'2 va fi în faţa punctului O'1 atât timp cât u2 este mai mare decât u1 şi invers dacă lentilele sunt dispersive. Dacă u1 este foarte mic atunci O'1 este proiecţia gaussiană, iar O'2 se numeşte aberaţia longitudinală, iar O'1R aberaţia laterală a razelor cu deschiderea u2. Dacă raza cu unghiul u2 este cea de maximă aberaţie între toate razele incidente considerate, atunci într-un plan perpendicular pe axa O'1 există un disc de confuzie de raza O'1R, iar într-un plan paralel O'2 un altul de raza O'2R2. Între acestea este situat discul de minimă confuzie.

Dacă distanţa obiect tinde la infinit, toate razele primite de prima componentă a sistemului sunt paralele şi intersecţiile lor după trecea prin sistem, variază în funcţie de distanţa faţă de axă (perpendicularele pe axă). -aberaţia elementelor mici perpendiculare pe axă. Dacă razele incidente din O (Fig1) sunt concurente, nu înseamnă că punctele vor fi concurente şi într-un plan perpendicular în O pe axa optică. Cu o deschidere considerabilă, punctul N va fi proiectat dar cu aberaţii comparabile în mărime cu ON. Aceste aberaţii sunt evitate, conform lui Abbe, dacă condiţia sinusului (sin u'1/sin u1=sin u'2/sin u2) este valabilă pentru toate razele incidente în O. Dacă distanţa obiect tinde la infinit u1 şi u2 sunt înlocuite cu pi şi h2, înălţimea incidentă. Astfel, sin u'1/h1=sin u'2/h2. Un sistem care îndeplineşte această condiţie se numeşte aplantic. Acest cuvânt a fost prima dată folosit de Robert Blair, profesor de astronomie la Universiatea din Edinburgh, pentru a caracteriza un acromatism superior şi de multe ori lipsa aberaţiilor sferice. Ambele aberaţii a punctelor axiale şi deviaţia de la condiţia sinusului, cresc rapid în cele mai multe sisteme necorectate. -aberaţiile obiectelor laterale. astigmatism Un punct O (Fig6) la o distanţă finită de axă este în general, slab proiectat dacă fasciculul cu originea în el traversează sistemul şi devine prea îngust. Fasciculul nu întâlneşte suprafaţa reflectatoare sau refractivă la unghiuri care să convină şi deci va fi astigmatic. Raza principală care trece prin focar se numeşte rază principală şi astfel putem spune că razele fascicului se întâlnesc nu într-un punct ci în două linii focale care pot fi considerate a fi sub unghiuri drepte fără de rază principală. Două suprafeţe de imagini astigmatice corespund unui plan obiect şi acestea sunt în contact cu punctul axial. Într-una se află liniile focale ale primului fel, iar în celălalt, liniile celui de-al doilea fel. Sistemele în care cele două suprafeţe astigmatice coicid se numesc anastigmatice sau stigamtice. -curbura câmpului imagine. Dacă erorile de mai sus sunt eliminate, cele două suprafeţe astigmatice unite şi o imagine clară este obţinută cu o deschidere mare, mai rămâne de corectat curbarea suprafeţei imagine, mai ales dacă sistemul trebuie proiectat pe o suprafaţă plană, ca în fotografie. În cele mai multe cazuri suprafaţa este concavă faţă de sistem. -deformarea imaginii. Dacă imaginea este acum destul de clară, razele incidente de la fiecare obiect întâlnindu-se într-un punct imagine de exactitate satisfăcătoare, se poate întâmpla ca imaginea să fie deformată. Această eroare constă în faptul că diferite părţi ale obiectului sunt proiectate, dar mărite la diferite valori. De exemplu, mărirea părţilor interioare să fie mai mare decât cea a părţilor exterioare (formă de butoi) sau invers. Această formă de aberaţie în destul de diferită de cea a acurateţei unei proiecţii. În imaginile neclare, problema deformării se pune doar dacă părţi ale obiectului pot fi recunoscute în figură. Dacă într-o imagine neclară, o pată de lumină corespunde unui punct obiect, centrul de gravitate al petei poate fi considerat punctul imagine, acesta fiind punctul în care planu-imagine (ecranul) intersectează razele ce trec prin mijlocul originii. Această presupunere este justificată dacă o imagine slabă pe ecran rămâne staţionară când deschiderea este micşorată. În practică de obicei se întâmplă acest lucru. Această rază, numită de Abbe raza principală (a nu se confunda cu razele principale din teoria gaussiană) trece prin focarul obiect înainte de prima refracţie şi prin focarul imagine după ultima refracţie. Referindu-ne la fig 8 avem O'Q'/OQ=a'tan w'/a tan w=1/N unde N este mărirea transversală. Pentru ca n să fie constant pentru toate valorile lui w, a' tan w'/a tan w trebuie să fie de asemenea constant. Dacă raportul a'/a este aproximativ constant relaţia dwe mai sus se reduce la condiţia lui Airy (tan w'/tan w=ct). Această relaţie simplă este îndeplinită în toate sistemele care sunt simetrice faţă de diafragma lor sau care constau din două componente, asemănătoare, dar de mărimi diferite, plasate faţă de diafragma în raportul mărimilor şi prezentând aceeaşi curbură: în aceste sisteme tan w'/tan w=1.

Constanţa lui a'/a e necesară pentru ca această relaţie să fie validă a fost arătată de către R.H. Bow şi Thomas Sutton (fotografi). Această problemă a fost tratată de către O. Lummer şi M. von Rohr. Trebuie ca mijlocul lentilei să fie proiectat în focare fără aberaţie sferică. Von Rohr a arătat că pentru sistemele care nu îndeplinesc nici condiţia Airy nici cea a lui Bow-Sutton, raportul a' tg w'/a tgw va fi constant pentru o distanţă a obiectului. Această condiţie complexă este îndeplinită exact de obiectivele holosimetrice care reproduc la o scară 1:1, dar şi de obiectivele hemisimetrice dacă mărirea transversală este egală cu raportul mărimilor celor 2 componente.

[modifică] Corectarea analitică a aberaţiilor

Aberaţiile prezentate mai sus fac parte din lucrarea "Abbe teoria aberaţiilor" în care aberaţii definite sunt analizate separat. Lucrarea se potriveşte nevoilor practice întrucât în construcţia de instrumente optice anumite greşeli sunt obligatoriu corectate, greşeli care sunt analizate prin experienţă. În sens matematic însă această selecţie este arbitrară. Acest număr este finit dacă obiectul şi deschiderea sunt considerate a fi infinit de mici. O rază venind de la obiectul O (fig 9) poate fi definit prin coordonatele (e,n). Din acest punct O într-un plan-obiect I, la unghiuri drepte cu axa şi cu alte două coordonate (x,y), punctul în care raza intersectează focarul, planul II. Similar le corespunde raza-imagine care poate fi definită de punctele (e',n') şi (x',y'), în planele I' şi II'. Originea acestor 4 sisteme de coordonate sunt colineare cu axa sistemului optic principal. Axele corespunzătoare pot fi paralele. Fiecare din cele 4 coordonate e',n',x',y' sunt în funcţie de e,n,x,y. Dacă se consideră câmpul vizual extrem de mic, atunci şi e,n,x,y au tot valori foarte mici, iar în consecinţă e',n',x',y' funcţii de puteri crescătoare ale e,n,x,y, sunt obţinute serii în care trebuie doar să considerăm cele mai mici puteri. Deja dacă sistemul este considerat simetric, originile sistemelor de coordonate colineare pe axa optică şi axele corespunzătoare, paralele, schimbând semnul lui e,n,x,y, valorile e',n',x',y' vor avea şi ele semn schimbat dar îşi vor păstra modulul. Înseamnă că seriile sunt restricţionate la puteri impare a variabilelor nemarcate.

Natura proiecţiei constă în razele care vin dinspre punctul O şi care se unesc într-un alt punct O'. În general nu va fi valabil întrucât e',n' variază dacă e,n sunt constante dar x,y, variabile. Putem presupune că planurile I' şi II' sunt "aduse" unde sunt formate imaginile planelor I şi II de raze apropiate de axă, după regulile gaussiene. Extinzând aceste reguli, deşi nu întotdeauna valabile, imaginea gaussiană O'o, de coordonate e'o, n'o, aflată la o distanţă coresp de axă, ar putea fi totuşi construită.

Scriind De'=e'-e'o şi Dn'=n'-n'o atunci De' şi Dn' sunt aberaţiile corespunzătoare punctelor e,n şi x,y sunt funcţiile acestor mărimi care, generalizate în serie, conţin numai puteri impare pentru motivele enunţate mai sus. Din cauza aberaţiilor tuturor razelor care trec prin O, o rază de lumină, depinzând în mărime de puterile cele mai mici ale lui e,n,x,y pe care aberaţiile le conţin, se va forma în planul I'. Aceste grade, denumite de J. Petzval sistemul numeric al imaginii, puteri impare întotdeauna. Condiţia formării unei imagini al rangului al m-lea este ca în seriile pentru De' şi Dn' coeficienţii puterilor al celui de-al 3-lea, al 5-lea….. al (m-2)-lea grad trebuie să dispară. Imaginile teoriei gaussiene fiind de ordinul 3, următoarea problemă este de a obţine o imagine de ordinul 5 sau de a face coeficienţii puterii celui de-al treilea unghi, 0. Acest lucru necesită satisfacerea a 5 ecuaţii, în alte cuvinte, există 3 alteraţii a puterii a 3-a, dispariţia acesteia producând o imagine de ordinul 5.

Expresia acestor coeficienţi în termenii constantelor sistemului optic (indice de refracţie, distanţa între lentile, grosimea etc.) a fost rezolvată de L. Seidel, iar în 1840, J. Petzval şi-a construit obiectivul său imagine după un set de calcule similare, care însă nu au fost niciodată publicate. Teoria a fost elaborată de S. Fintersmalder.

Aberaţiile pot fi de asemenea exprimate prin mijloacele funcţiei caracteristice a sistemului şi coeficienţilor diferenţialelor. Aceste formulări nu sunt imediat aplicabile dar dau relaţia între numărul aberaţiilor şi ordinea. Sir William Rowan Hamilton a derivat aberaţiile de ordinul 3, iar mai târziu metoda a fost continuată de Clerk Maxmell, M. Thiesen şi aproape cu succes de K. Schwarzschild, care a descoperit aberaţia de ordinul 5 şi probabil cea mai scurtă dovadă a formulării practice (Seidel). Aberaţiile de ordinul 3 sunt: (1) aberaţia punctelor axiale, (2) aberaţia punctelor a căror distanţă faţă de axă este foarte mică, (3) astigmatismul, (4) curbarea câmpului (5) deformarea. (1) aberaţia de ordinul 3 a punctelor axiale este analizată şi rezolvată în toate cărţile despre optică. Este foarte importantă în designul telescoapelor. În telescoape, deschiderea maximă este diametrul liniar al obiectivului, nu este acelaşi ca pentru deschiderea microscoapelor, care se bazează pe focarul obiect. Aberaţiile de ordin mai mare în designul telescoapelor pot fi neglijate. Pentru microscoape nu pot fi neglijate. Pentru o singură lentilă de grosime foarte mică şi de putere dată, aberaţia depinde de raportul razelor r/r' şi este minim (dar niciodată 0) pentru o anumită valoare a raportului. Variază invers proporţional cu indicele de refracţie. Aberaţia totală a două sau mai multe lentile subţiri aflate în contact, fiind suma aberaţiilor individuale, poate fi 0. Acest lucru mai este posibil şi dacă lentilele au acelaşi semn algebric. Considerând lentile subţiri cu indicele de refracţie n=1,5; sunt necesare 4 astfel de lentile pentru a corecta aberaţia sferică de ordinul 3. Aceste sisteme, însă nu sunt de mare importanţă practică. În cele mai multe cazuri, 2 lentile subţiri sunt combinate, una care are o aberaţie pozitivă foarte puternică, iar cealaltă tot o aberaţie puternică însă negativă. Prima lentilă este pozitivă, a doua negativă însă puterile pot să difere astfel încât efectul dorit să fie menţinut. În general este un avantaj securizarea unui efect refractiv de alte câteva lentile mai "slabe". De una, la fel şi de 2 dar chiar şi de un infinit de lentile subţiri aflate în contact, nu mai mult de 2 puncte axiale pot fi proiectate fără aberaţii de ordinul 3. Lipsa aberaţiilor pentru 2 puncte axiale, din care unul este la o distanţă infinită, se numeşte condiţia lui Herschel. Toate aceste reguli sunt valabile atât timp cât grosimea şi distanţa între lentile nu se ia în considerare. (2) Condiţia pentru a nu avea aberaţii între punctele aflate la o distanţă foarte mică faţă de axă este de asemenea foarte importantă în construcţia telescoapelor. Acest lucru se numeşte condiţia lui Fraunhoper. (4) după eliminarea aberaţiei de pe axă, a celor din apropierea axei şi a astigmatismului, relaţia pentru lipsa de curbură a câmpului-imagine este exprimat de ecuaţia lui Petzval S1/r(n'-n)=0, unde r este raza suprafeţei refractive, n şi n' sunt indicii de refracţie al mediului înconjurător, iar S este semnul sumei tuturor suprafeţelor refractatoare.

[modifică] Eliminarea practică a aberaţiilor

Clasica problemă a imaginilor este de a reproduce perfect un plan finit (obiectul) într-un alt plan (imaginea) printr-o deschizătură finită. Este imposibil de a face acest lucru perfect pentru mai mult de o pereche de astfel de planuri. Pentru o singură pereche de planuri însă această problemă a putut fi în principiu rezolvată perfect.

Metodele practice rezolvă această problemă cu o acurateţe care este mai mult decât suficientă pentru scopurile speciale ale fiecărui instrument, problema găsirii unui sistem care să reproducă un obiect dat într-un plan dat cu o mărire dată au putut fi tratate mijloacele teoriei aproximării. În cele mai multe cazuri dificultăţile analitice au fost prea mari pentru metodele mai vechi de calcul, dar pot fi ameliorate prin aplicarea sistemelor informatice moderne. Soluţiile au fost în schimb găsite pentru cazuri particulare. În prezent, constructorii aplică de cele mai multe ori, metode inverse: ei compun un sistem şi apoi îl testează cu calcule trigonometrice, dacă sistemul oferă proiecţia dorită. Razele, grosimea şi distanţele sunt în continuare alterate până când erorile de imagine devin suficient de mici. Prin această metodă numai anumite greşeli sunt analizate. Teoria aproximaţiei este deseori folosită provizoriu, întrucât acurateţea ei nu este suficientă.

[modifică] Aberaţia cromatică

În sistemele optice compuse din lentile, poziţia, mărimea şi erorile imaginilor depind de indicele de refracţie al sticlei utilizate. Cum indicele de refracţie variază considerând culoarea sau lungimea de undă a luminii, rezultă că un sistem de lentile (necorectat) proiectează imaginile de diferite culori în locuri diferite şi de diferite mărimi sau cu diferite aberaţii.. există diferenţe cromatice a distanţelor de intersecţie, a măririlor transversale şi a aberaţiilor monocromatice. Dacă este utilizată lumina mixtă (lumina albă) toate aceste imagini sunt formate şi cum sunt în final proiectate pe un plan (retina ochiului etc), cauzează confuzie, numită aberaţie cromatică. De exemplu, în loc de o margine albă pe un fundal negru, se percepe o imagine colorată, sau spectru îngust. Absenţa acestei erori este denumită acromatism. Un sistem se numeşte cromatic sub-corectat când arată acelaşi fel de eroare cromatică cu o lentilă subţire pozitivă, altfel se numeşte supra-corectată.

Dacă, în primul rând, aberaţia monocromatică este neglijată, în alte cuvinte, teoria gaussiană este acceptată, atunci fiecare reproducere este determinată de poziţia planelor focale şi de mărimea distanţelor focale, sau dacă distanţele focale sunt egale, de trei constante ale reproducerii. Aceste constante sunt determinate de datele sistemului (raza, grosimea indicele etc.) de unde dependenţa de indicele de refracţie, de culoare. Sunt însă calculabile, formula fiind dată în czapski-Eppenstein. Indicele de refracţie pentru diferite lungimi de undă trebuie să fie cunoscute pentru fiecare fel de sticlă din care este făcut. În acest fel, condiţiile sunt menţinute astfel încât orice constantă a reproducerii este egală pentru 2 culori diferite, adică această constantă este acromatizată. De exemplu, este posibil ca, luând o singură lentilă groasă în aer să acromatizăm poziţia planului focal, mărimii şi distanţei focale. Dacă toate cele trei constante sunt acromatizate atunci imaginea gaussiană pentru toate distanţele-obiect vor fi aceleaşi pentru 2 culori şi sistemul este denumit a fi în acromatism stabil.

În practică este mai avantajos să se determine aberaţia cromatică pentru poziţia fixată a obiectului şi să o exprimăm printr-o sumă. Într-un plan care conţine punctul-imagine al unei culori, o altă culoare produce un disc de confuzie. Acesta este similar confuziei cauzate de două zone în aberaţia sferică. Pentru obiectele aflate la distanţe infinite, raza discului cromatic de confuzie este proporţional cu deschiderea lineară şi este independent de distanţa focală. Cum discul devine cel mai puţin vizibil mărind imaginea unui obiect sau mărind distanţa focală, rezultă că deteriorarea imaginii este proporţională cu raza deschiderii către focar.

Exemple : (a) într-o lentilă subţire, aflată în aer, o constantă de reproducere trebuie observată, ştiind că distanţele focale sunt egale. Dacă indicele de refracţie pentru o culoare este n, iar pentru o alta este n+dn, iar puterile sau reciprocele distanţelor focale sunt f şi f+df atunci (1) df/f=dn/(n-1)=1/n; dn se numeşte dispersie, iar n este puterea dispersivă a sticlei. (b) Două lentile subţiri lipite: f1 şi f2 sunt puterile corespunzătoare lentilelor de indici de refracţie n1 şi n2, iar razele r'1, r1 şi r'2, r2 respectiv. F reprezintă putere totală iar df, dn1, dn2 variaţiile lui f, n1, n2 la schimbarea culorii. Rezultă următoarele relaţii:

(2)f=f1-f2==(n1-1)(1/r'1-1/r1)+ (n2-1)(1/r'2-1/r2)=(n1-1)k1+(n2-1)k2 (3) df=k1dn1+k2dn2. Pentru acromatism df=0, deci din (3) (4) k1/k2=-dn2/dn1 sau f1/f2=-n1/n2. Deci f1 şi f2 trebuie să aibă semne algebrice diferite sau sistemul trebuie să fie compus dintr-o lentilă colectivă şi una dispersivă. În consecinţă puterile celor 2 trebuie să fie diferite (pentru ca f să nu fie 0 şi puterile dispersive trebuie să fie tot diferite)

Newton a eşuat în a percepe existenţa mediului diferitelor puteri dispersive necesare acromatismului. Astfel el a construit reflectoare mari în loc de refractoare. James Gregory şi Leonard Euler au ajuns la o viziune corectă de la falsa concepţie a acromatismului ochiului. Acest lucru a fost determinat de Chester More Hall în 1754 şi de Dollond în 1757, care a construit mult sărbătoritul telescop acromatic. Sticla cu putere dispersivă mai mică se numeşte crown glass, iar cea cu putere dispersivă mai mare, flint glass. Pentru construcţia unei lentile colective (f pozitiv) rezultă din (4) ca o lentilă I colectivă de putere mică de dispersie şi o lentilă dispersivă II de putere mare de dispersie trebuie să fie folosite. A doua lentilă, deşi cea mai slabă, corectează pe cealaltă cromatic prin puterea ei dispersivă. Pentru o lentilă dispersivă acromatică, conversiunea trebuie adoptată. Două alte condiţii mai pot fi enunţate: una este eliminarea aberaţiei axiale, a doua, fie condiţia Herschel fie cea Fraunhofer, cea de-a doua fiind cea mai des folosită. În practică este mai util să eviţi a doua condiţie, lipind lentilele, razele devenind egale. Lentilele lipite au un indice de refracţie mai mic iar pe de altă parte, permit eliminarea astigmatismului şi curburii câmpului, dacă lentila colectivă are un indice de refracţie mai mare. Dacă sistemul de lentile lipite este pozitiv atunci cu atât mai puternice trebuie să fie lentilele pozitive şi din (4) puterii mai mari îi corespunde slăbiciunea dispersivă, adică sticla crown. În consecinţă, crown glass ar trebui să aibă indice de refracţie mai mare pentru planele imagine şi astigmatice. În loc să facă să dispară Df, o anume valoare îi poate fi atribuită şi acest lucru va produce orice deviaţie cromatică dorită. Dacă lentilele I şi II sunt lipite şi au acelaşi indice de refracţie pentru o culoare, atunci efectul pentru acea culoare va fi cel al unei singure lentile. Dintr-o asemenea descompunere, vor rezulta, după dorinţă, acromatisme sau cromatisme, fără a altera efectul sferic. Dacă efectul cromatic este mai mare decât al lentilelor luate separat atunci se numeşte hypercromatică.

Pentru două lentile subţiri separate printr-o distanţă D condiţia acromatismului este D=v1f1+v2f2 Dacă v1=v2, se reduce la D=1/2(f1+f2) (condiţia ocularilor)

În fig 11, abscisa este formată din distanţele focale, iar ordonata reprezintă lungimile de undă. Sunt folosite liniile Fraunhofer şi distanţele focale sunt egalate pentru liniile C şi F. În vecinătate valorii de 550 mm tangenta la curbă este paralelă cu axa lungimilor de undă, iar distanţa focală variază pe domeniul destul de larg al spectrului de culori, deci această vecinătate uniunea culorilor este la nivel maxim. Mai mult, această zonă a spectrului este cea care apare ca fiind cea mai strălucitoare pentru ochiul uman şi în consecinţă curba acestui spectru secundar este cea mai bună pentru instrumente vizuale. Într-un mod similar, pentru sistemele folosite în fotografie, vârful curbei de culoare trebuie să fie plasat în poziţia de maximă sensibilitate. Acest punct în general este G' pentru a obţine acesta liniile F şi VioletHg se unesc. Acest artificiu în general este adoptat pentru fotografierea astronomică, existând însă şi un dezavantaj: imaginea de pe ecranul focalizator şi ajustările pe placa fotografică nu sunt în registrul cromatic. Considerând 2 lentile în contact cu distanţe focale egale pentru trei culori a, b, c fa=fb=fc=f, atunci dispersia parţială (nc-nb)(na-nb) trebuie să fie egală pentru cele două tipuri de sticlă folosite. Rezultă din (4) ca ac=bc. Până de curând, nu se cunoştea niciun tip de sticlă cu grad proporţional de absorbţie, dar R.Blair, P. Barlow şi F.S. Archer au învins dificultatea construind lentile fluide între pereţii de stică. Fraunhofer a preparat sticle care reduceau spectrul secundar, dar succesul permanent a fost introducerea sticlei de Jena de către E. Abbe şi O. Schott. În utilizarea sticlei, neavând dispersie proporţională, deviaţia celei de-a treia culori poate fi eliminată de 2 lentile, dacă există un interval între ele, sau de 3 lentile dintre care nu pot fi toate de sticlă "clasică". Reunind aceste trei culori, un acromatism de ordin mare este obţinut. Există bineinţeles un al treilea spectru care însă poate fi neglijat. Teoria gaussiană este doar o aproximaţie. Aberaţiile monocromatice sau sferice încă mai apar, ceea ce va fi diferit pentru diferite culori. Compensându-le pentru o culoare, o altă culoare va fi deranjată. Cea mai importantă este diferenţa cromatică a aberaţiei axiale care încă este prezentă pentru deformarea imaginii, după ce raze paraxiale sunt reunite de o combinaţie potrivită de sticle. Dacă un sistem colectiv este corectat pentru punctele axiale pentru o lungime de unde definită, atunci, bazându-ne pe gradul mare de dispersie în componentele negative, supra-corectarea va apărea pentru lungimi mai mici de undă şi sub-corectarea pentru lungimile mai lungi de una. Această eroare a fost combătută de Jean le Rond d'Alembert şi în detaliu de către C.F.Gauss. Proporţională cu deschiderea, este mai importantă cu deschiderile medii decât spectrul secundar de raze paraxiale. Aberaţia sferică trebuie să fie eliminată pentru 2 culori şi dacă acest lucru este imposibil atunci trebuie eliminat pentru acele unde particulare care sunt cele mai utilizate considerând instrumentul în discuţie. Condiţia proiectării unei suprafeţe într-un plan de proiecţie ascuţită este îndeplinirea condiţiei sinusului cu deschizături mari pentru diferite culori. Abbe a reuşit să construiască obiective microscopice fără nicio eroare axială şi satisfăcând condiţia sinusului pentru diverse culori, ceea ce, potrivit definiţiei, erau aplanatice pentru câteva culori. Aceste sisteme au fost denumite de Abbe apocromatice. Cât timp mărirea zonelor luate individual erau aceleaşi, nu este aceeaşi pentru roşu cât este şi pentru albastru există şi o diferenţă cromatică a măririi. Cele mai bune obiective pentru telescoape şi obiectivele fotografice destinate lucrului în 3 culori sunt de asemenea apocromatice, chiar dacă nu au aceeaşi calitate de corecţie ca obiectivele microscopului. Diferenţele cromatice a erorilor au diverse întrebuinţări.